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Repaso de identidades trigonométricas
Tener en cuenta las identidades fundamentales
TALLER 1
Realizar las siguientes identidades trigonométricas
Teorema del seno y del coseno
TEOREMA DEL SENO
El teorema de
seno es un resultado de trigonometría que establece la relación de
proporcionalidad existente entre las longitudes de lados de un triángulo
cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos. Esta relación fue
descubierta en el siglo X.
Entonces cumple con la siguiente relación
El teorema del seno se
utiliza cuando tenemos un lado y dos ángulos del triángulo o cuando tenemos dos
lados y el ángulo opuesto a 1 de sus lados.
Taller 2
1. Resolver los siguientes
ejercicios aplicando el teorema del seno
APLICACIONES DEL TEOREMA DEL SENO
Ejemplo 1
Un satélite en la
órbita terrestre por encima de las estaciones de observación de Phoenix y Los
Ángeles, a 340 millas de distancia. En un instante cuando el satélite esta
entre las dos estaciones, simultáneamente se observa que el ángulo de elevación
es de 60° en Phoenix y de 75° en Los Ángeles. ¿A qué distancia está el satélite
de Los Ángeles?
Se debe
determinar la longitud de uno de los lados que forma el triángulo.
Taller 3
1. Resolver los siguientes problemas
a. Para encontrar la distancia de un lado al otro
de un río, una topógrafa selecciona los puntos
A y B que están separados 200 pies de un lado del rio. Entonces ella
escoge un punto de referencia C del lado opuesto del río y determina que el
y
Calcule aproximadamente distancia entre A y C.
b. Un árbol en una ladera proyecta una sombra de
215 pies colina abajo. Si el ángulo de inclinación de la ladera es de 22° con
la horizontal y el ángulo de elevación del sol es de 52°, ¿Cuál es la altura
del árbol?
c. Una torre de comunicaciones esta en la cima de
una colina. El ángulo de depresión de la colina es de 58°. Debe instalarse un
cable guía desde la parte superior de la torre hasta el piso. La altura de la
torre es de 132 pies. El ángulo que forma el cable con la colina es de 12°.
Determine la longitud del cable guía.
d. Un piloto está volando sobre una carretera
recta. Él encuentra que los dos ángulos de depresión de los dos postes
indicadores de millas, a 5 millas de distancia entre sí, tienen los valores de
32° y 48°, según se observa en la figura.
¿Cuál es la distancia del aeroplano al punto A? ¿Cuál es la altitud del
aeroplano
e. La órbita de un satélite alrededor de la
tierra hace que pasa directamente por encima de dos estaciones de rastreo que
están separadas a 50 millas. Cuando el satélite está entre las dos estaciones,
se miden los ángulos de elevación desde A y desde B, y éstos son de 87° y 84,2°
respectivamente. ¿A qué distancia está el satélite de la estación A? ¿A qué
altitud sobre el nivel del suelo está el satélite?
f. Los puntos A y B están separados por un lago.
Para determinar la distancia que los separa, un topógrafo localiza un punto C
en la tierra de manera que
También mide la distancia CA como de 312 pies
y CB de 527 pies. Encuentre la distancia entre A y B
g. Los observadores P y Q están en la ladera de
una montaña que forma un ángulo de 32° con la horizontal. El observador P
determina que su ángulo de elevación a un globo aerostático es de 62°; en el
mismo momento, el observador Q mide su ángulo de elevación es de 71°. Si P está
ubicado 60 m colina debajo de Q, determine la distancia de Q al globo.
Teorema del
coseno
La
ley del coseno o teorema del coseno es especialmente útil cuando se conocen los 3 lados del
triángulo y se desea calcular uno o dos de sus ángulos o cuando se conocen dos
lados y el ángulo comprendido entre ellos.
En
el siguiente triángulo ABC, a = 13 cm, c = 19cm, <B = 55°, Resuelva el
triángulo
Ejemplo
2:
Una
tormenta tropical provocó que una palmera se inclinara 28° con respecto a la
vertical. En un momento determinado, en que el ángulo de elevación del Sol es
de 30°, la palmera proyecta una sombra de 26 metros, y la recta que se proyecta
desde la punta de la palma hasta el final de la sobra es de 34 metros. ¿Cuál es
la altura de la palmera?
1.
Resuelve los
siguientes problemas
a. Para determinar la distancia a través de un
pequeño lago, un topógrafo ha tomado las medidas que se muestran. Encuentre la
distancia a través del lago basándose en esta información.
b. Un paralelogramo tiene lados de longitud 3 y 5
y 50°. Determine la longitud de las diagonales.
c. Dos carreteras rectas divergen formando un
ángulo de 65°. Dos automóviles salen de la intersección a las 2:00 p.m. uno
viaja a 50 Km/h y el otro a 30 Km/h. ¿Qué distancia los separa a las 2:30 p.m.
d. Un automóvil viaja a lo largo de una carretera
recta en dirección al este durante 1 hora y después viaja 30 minutos sobre otra
carretera que se dirige al noreste. Si el conductor mantuvo una velocidad
uniforme de 40 millas/h, ¿a qué distancia está de su punto de partida?
e. Un piloto vuela en una trayectoria recta
durante hora y media. Después efectúa una corrección de curso, dirigiéndose 10°
a la derecha de su curso original y vuela 2 horas. Si mantiene una velocidad
constante de 625 millas/h ¿Cuánto se ha alejado se su posición original?
f. Dos barcos salen de un mismo puerto
simultáneamente. Uno avanza a una velocidad de 30 millas/h en dirección N 50° E
y el otro a una velocidad de 26 millas/h en una dirección S 70° E. ¿Qué
distancia de separación tendrán después de 1 hora?
GEOMETRÍA ANALÍTICA
¿Cómo surgió?
Apolonio de Pérgamo (262 a 200 a. C.) fue un matemático y
astrónomo griego de gran talento, que escribió sobre la gran variedad de temas
matemáticos, su fama precede esencialmente de sus secciones cónicas, en donde
el método utilizado está mucho más próximo a los métodos de la geometría analítica
actual que a los puramente geométricos.
Los griegos de la época de Platón consideraban que las
concesiones cónicas -elipse, parábola, e hipérbola- procedían de la
intersección de un cono con un plano (de ahí el nombre de sesiones cónicas). Uno
de los predecesores. Más importante es Menecmo (375 a 325 a. C.), alumno de Eudoxio
a quien se le atribuye el descubrimiento de las secciones cónicas, lo que le
permitió resolver el problema de los oráculos del de Delos. Menecmo descubrió
las propiedades de la parábola y de la hipérbole que corresponden -en coordenadas
cartesianas- a las relaciones que resultan de la proporción continua x2=
ay, y2=bx, xy= ab No se sabe cómo, partiendo del método de obtención
de las sesiones cónicas, obtuvo en Menecmo las ecuaciones xy= ab, y2=bx,
necesarias para la resolución de la duplicación del cubo.
Finalmente vale la pena resaltar que Apolonio demostró
que no es necesario tomar secciones perpendiculares de un elemento del cono. Es
suficiente con variar - a partir de un cono ordinario- la inclinación de los
planos que lo cortan.
También se debe Apolonio
la idea de la superposición de 2 conos, el vértice de uno, apoyado en el otro,
de tal manera que sus ejes coincidan.
En que se aplica
las 3 secciones
Cónicas, no degeneradas parábola, elipse, hipérbola tienen importantes
aplicaciones prácticas, la parábola, por ejemplo, da origen a una superficie es
conocida como paraboloide, modelo utilizado para la transmisión y recepción de
señales de comunicación. Muy conocidas hoy como antenas parabólicas, la
hipérbola es el modelo comúnmente utilizado, nada de navegación para localizar
un sitio específico mediante el conocimiento de cierta información en 3 puntos
distintos, un caso muy especial de la elipse es el uso para el tratamiento de
cálculos renales. Por resonancia con más exactitud el tratamiento de cálculos
renales se basa en la propiedad reflexiva de la elipse. Un electrodo se coloca.
En un foco de la elipse y el paciente queda ubicado en el otro foco, de tal
manera que cuando el electrodo es descargado se producen ondas ultrasónicas que
golpean la pared en elipse y se refleja en el cálculo, perdiéndose poca energía
en la reflexión, la energía descargada. En el cálculo renal no lo pulveriza en
pequeños fragmentos que serán eliminados luego por las vías urinarias.
Recta
La
recta es una sucesión de puntos.
Para ver qué tan inclinada está una recta, es
decir, “qué tan pendiente” está una recta, procedemos así: Tomamos dos puntos
de ella, por ejemplo los puntos P(2,3) y Q(4,6). Expresamos la pendiente de la forma
Taller 6
1. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por
los puntos y graficar la recta en hojas milimetradas
·
A= (3, 2) B=(4,3)
·
A= (-5,9) B=(8,6)
·
A= (-9,-3)
B=(-2,6)
·
A= (-4, 8) B= (5,
-4)
·
A=(3, 7) B= (1, 7)
2. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por
el punto y la pendiente dados
·
M= 2 A=(3,2)
·
M= -5 A=(-3,7)
·
M= 7 A=(2,7)
·
M= -9 A=(-9,-1)
·
M= 12 A=(7,-2)
Dadas la recta
encontrar la recta perpendicular que pasa por el punto dado
9. 4/3 x +1/2y =3 A=(-7,
-9)
10.6/11 x +5/2+8=0 A=(2, -8)
Parábola
Las secciones cónicas son curvas que pueden obtenerse de
la intersección de un plano con un cono circular recto, la intersección del
cono con un plano perpendicular a su eje produce una circunferencia. Si el
plano se inclina ligeramente, la curva resultante es una elipse, cuando el
plano es paralelo a una recta sobre el cono, la curva de intersección es una
parábola. Finalmente, si el plano interseca ambas mitades o ramas del cono, la
curva es una hipérbola. Estas 4 sesiones cónicas se ven
Taller 11
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