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Repaso de identidades trigonométricas

Tener en cuenta las identidades fundamentales

TALLER 1

Realizar las siguientes identidades trigonométricas

Teorema del seno y del coseno

TEOREMA DEL SENO

El teorema de seno es un resultado de trigonometría que establece la relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos. Esta relación fue descubierta en el siglo X.

Entonces cumple con la siguiente relación

El teorema del seno se utiliza cuando tenemos un lado y dos ángulos del triángulo o cuando tenemos dos lados y el ángulo opuesto a 1 de sus lados.

Taller 2

1. Resolver los siguientes ejercicios aplicando el teorema del seno

APLICACIONES DEL TEOREMA DEL SENO

Ejemplo 1

Un satélite en la órbita terrestre por encima de las estaciones de observación de Phoenix y Los Ángeles, a 340 millas de distancia. En un instante cuando el satélite esta entre las dos estaciones, simultáneamente se observa que el ángulo de elevación es de 60° en Phoenix y de 75° en Los Ángeles. ¿A qué distancia está el satélite de Los Ángeles?

Se debe determinar la longitud de uno de los lados que forma el triángulo.

Taller 3

1. Resolver los siguientes problemas

a.    Para encontrar la distancia de un lado al otro de un río, una topógrafa selecciona los puntos   A y B que están separados 200 pies de un lado del rio. Entonces ella escoge un punto de referencia C del lado opuesto del río y determina que el y Calcule aproximadamente distancia entre A y C.

b.    Un árbol en una ladera proyecta una sombra de 215 pies colina abajo. Si el ángulo de inclinación de la ladera es de 22° con la horizontal y el ángulo de elevación del sol es de 52°, ¿Cuál es la altura del árbol?

c.    Una torre de comunicaciones esta en la cima de una colina. El ángulo de depresión de la colina es de 58°. Debe instalarse un cable guía desde la parte superior de la torre hasta el piso. La altura de la torre es de 132 pies. El ángulo que forma el cable con la colina es de 12°. Determine la longitud del cable guía.
d.    Un piloto está volando sobre una carretera recta. Él encuentra que los dos ángulos de depresión de los dos postes indicadores de millas, a 5 millas de distancia entre sí, tienen los valores de 32° y 48°, según se observa en la figura. ¿Cuál es la distancia del aeroplano al punto A? ¿Cuál es la altitud del aeroplano

e.    La órbita de un satélite alrededor de la tierra hace que pasa directamente por encima de dos estaciones de rastreo que están separadas a 50 millas. Cuando el satélite está entre las dos estaciones, se miden los ángulos de elevación desde A y desde B, y éstos son de 87° y 84,2° respectivamente. ¿A qué distancia está el satélite de la estación A? ¿A qué altitud sobre el nivel del suelo está el satélite?
f.     Los puntos A y B están separados por un lago. Para determinar la distancia que los separa, un topógrafo localiza un punto C en la tierra de manera que También mide la distancia CA como de 312 pies y CB de 527 pies. Encuentre la distancia entre A y B
g.    Los observadores P y Q están en la ladera de una montaña que forma un ángulo de 32° con la horizontal. El observador P determina que su ángulo de elevación a un globo aerostático es de 62°; en el mismo momento, el observador Q mide su ángulo de elevación es de 71°. Si P está ubicado 60 m colina debajo de Q, determine la distancia de Q al globo.

Teorema del coseno

La ley del coseno o teorema del coseno es especialmente útil cuando se conocen los 3 lados del triángulo y se desea calcular uno o dos de sus ángulos o cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

En el siguiente triángulo ABC, a = 13 cm, c = 19cm, <B = 55°, Resuelva el triángulo

Ejemplo 2:

Una tormenta tropical provocó que una palmera se inclinara 28° con respecto a la vertical. En un momento determinado, en que el ángulo de elevación del Sol es de 30°, la palmera proyecta una sombra de 26 metros, y la recta que se proyecta desde la punta de la palma hasta el final de la sobra es de 34 metros. ¿Cuál es la altura de la palmera?

1. Resuelve los siguientes problemas

a.    Para determinar la distancia a través de un pequeño lago, un topógrafo ha tomado las medidas que se muestran. Encuentre la distancia a través del lago basándose en esta información.

b.    Un paralelogramo tiene lados de longitud 3 y 5 y 50°. Determine la longitud de las diagonales.
c.    Dos carreteras rectas divergen formando un ángulo de 65°. Dos automóviles salen de la intersección a las 2:00 p.m. uno viaja a 50 Km/h y el otro a 30 Km/h. ¿Qué distancia los separa a las 2:30 p.m.

d.    Un automóvil viaja a lo largo de una carretera recta en dirección al este durante 1 hora y después viaja 30 minutos sobre otra carretera que se dirige al noreste. Si el conductor mantuvo una velocidad uniforme de 40 millas/h, ¿a qué distancia está de su punto de partida?
e.    Un piloto vuela en una trayectoria recta durante hora y media. Después efectúa una corrección de curso, dirigiéndose 10° a la derecha de su curso original y vuela 2 horas. Si mantiene una velocidad constante de 625 millas/h ¿Cuánto se ha alejado se su posición original?

f.     Dos barcos salen de un mismo puerto simultáneamente. Uno avanza a una velocidad de 30 millas/h en dirección N 50° E y el otro a una velocidad de 26 millas/h en una dirección S 70° E. ¿Qué distancia de separación tendrán después de 1 hora?

[1]

GEOMETRÍA ANALÍTICA

¿Cómo surgió?[2]

Apolonio de Pérgamo (262 a 200 a. C.) fue un matemático y astrónomo griego de gran talento, que escribió sobre la gran variedad de temas matemáticos, su fama precede esencialmente de sus secciones cónicas, en donde el método utilizado está mucho más próximo a los métodos de la geometría analítica actual que a los puramente geométricos.

Los griegos de la época de Platón consideraban que las concesiones cónicas -elipse, parábola, e hipérbola- procedían de la intersección de un cono con un plano (de ahí el nombre de sesiones cónicas). Uno de los predecesores. Más importante es Menecmo (375 a 325 a. C.), alumno de Eudoxio a quien se le atribuye el descubrimiento de las secciones cónicas, lo que le permitió resolver el problema de los oráculos del de Delos. Menecmo descubrió las propiedades de la parábola y de la hipérbole que corresponden -en coordenadas cartesianas- a las relaciones que resultan de la proporción continua x²= ay, y²=bx, xy= ab No se sabe cómo, partiendo del método de obtención de las sesiones cónicas, obtuvo en Menecmo las ecuaciones xy= ab, y²=bx, necesarias para la resolución de la duplicación del cubo.

Finalmente vale la pena resaltar que Apolonio demostró que no es necesario tomar secciones perpendiculares de un elemento del cono. Es suficiente con variar - a partir de un cono ordinario- la inclinación de los planos que lo cortan.

También se debe Apolonio la idea de la superposición de 2 conos, el vértice de uno, apoyado en el otro, de tal manera que sus ejes coincidan.

En que se aplica

las 3 secciones Cónicas, no degeneradas parábola, elipse, hipérbola tienen importantes aplicaciones prácticas, la parábola, por ejemplo, da origen a una superficie es conocida como paraboloide, modelo utilizado para la transmisión y recepción de señales de comunicación. Muy conocidas hoy como antenas parabólicas, la hipérbola es el modelo comúnmente utilizado, nada de navegación para localizar un sitio específico mediante el conocimiento de cierta información en 3 puntos distintos, un caso muy especial de la elipse es el uso para el tratamiento de cálculos renales. Por resonancia con más exactitud el tratamiento de cálculos renales se basa en la propiedad reflexiva de la elipse. Un electrodo se coloca. En un foco de la elipse y el paciente queda ubicado en el otro foco, de tal manera que cuando el electrodo es descargado se producen ondas ultrasónicas que golpean la pared en elipse y se refleja en el cálculo, perdiéndose poca energía en la reflexión, la energía descargada. En el cálculo renal no lo pulveriza en pequeños fragmentos que serán eliminados luego por las vías urinarias.

Recta

La recta es una sucesión de puntos.

Para ver qué tan inclinada está una recta, es decir, “qué tan pendiente” está una recta, procedemos así: Tomamos dos puntos de ella, por ejemplo los puntos P(2,3) y Q(4,6). Expresamos la pendiente de la forma

Taller 6

1. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos y graficar la recta en hojas milimetradas

· A= (3, 2) B=(4,3)

· A= (-5,9) B=(8,6)

· A= (-9,-3) B=(-2,6)

· A= (-4, 8) B= (5, -4)

· A=(3, 7) B= (1, 7)

2. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto y la pendiente dados

· M= 2 A=(3,2)

· M= -5 A=(-3,7)

· M= 7 A=(2,7)

· M= -9 A=(-9,-1)

· M= 12 A=(7,-2)

Taller 8

Dadas la recta encontrar la recta perpendicular que pasa por el punto dado
1.   3x+7y=2    A= (5, -3)
2.   -4x+8y=1             A= (-6,2)
3.   9x+2y-7=0           A= (-3,-8)
4.   3x+y=3      A= (-4, -6)
5.   y= -1/4x +4 A=(0,5)
6.   y= 3/7 x +5 A=(-3, 8)
7.   8/5 x -12y= 1       A=(3,5)
8.   9/4 x -2y=3 A=(-5, 8)
9.   4/3 x +1/2y =3     A=(-7, -9)
10.6/11 x +5/2+8=0 A=(2, -8)

Parábola[1]

Las secciones cónicas son curvas que pueden obtenerse de la intersección de un plano con un cono circular recto, la intersección del cono con un plano perpendicular a su eje produce una circunferencia. Si el plano se inclina ligeramente, la curva resultante es una elipse, cuando el plano es paralelo a una recta sobre el cono, la curva de intersección es una parábola. Finalmente, si el plano interseca ambas mitades o ramas del cono, la curva es una hipérbola. Estas 4 sesiones cónicas se ven