MOVIMIENTO ARMÓNICO

 

MOVIMIENTO ARMÓNICO; variaciones de la gráfica de seno y coseno

Muchos objetos físicos vibran u oscilan de manera regular moviéndose repetidamente hacia atrás o hacia adelante en un determinado intervalo de tiempo. algunos ejemplos son los relojes de péndulo coma las ondas del sonido, las cuerdas de una guitarra al ser punteadas, el corazón humano, la de corriente eléctrica alterna. Como los sonidos y los tonos musicales son producidos por vibraciones cualquier movimiento oscilatorio se llama movimiento armónico. 

La función

Amplitud: |A|, es el promedio de la diferencia entre los valores máximo y mínimo.  Amplia o disminuye el rango de la función seno.  Indica cual será el valor máximo y mínimo de la gráfica.

Por ejemplo

Para esto construimos la tabla de valores, teniendo en cuenta que los valores de x son ángulos, los vamos a tomar de 30° cada valor

Para los valores de y se hace en la calculadora 3sin(“valor de x”)=

X	0°	30°	60°	90°	120°	150°	180°	210°	240°	270°	300°	330°	360°
f(x)	0	1,5	2,5	3	2,5	1,5	0	-1,5	-2,5	-3	-2,5	-1,5	0

 

Ejemplo 2:

X	0°	30°	60°	90°	120°	150°	180°	210°	240°	270°	300°	330°	360°
f(x)	0	0,12	0.21	0,25	0,21	0,12	0	-0,12	-0,21	-0,25	-0,21	-0,12	0

 

Periodo: Es la longitud del intervalo más pequeño que contiene exactamente una copia del patrón repetido. El periodo está definido por: 

Ejemplos:

El periodo de esta función es: significa que cada 180° se repite la función

Se construye la tabla de valores, para hallar y se coloca en la calculadora sin(2por(“valor de x”))

X	0°	30°	60°	90°	120°	150°	180°	210°	240°	270°	300°	330°	360°
f(x)	0	0,86	0,86	0	-0,86	-0,86	0	0,86	0,86	0	-0,86	-0,86	0

 Como se puede ver los valores son los mismos en puntos continuos por lo tanto tenemos que dar más valores de x.

x	0°	15°	30°	45°	60°	75°	90°	105°	120°	135°	150°	165°	180°
f(x)	0	0,5	0,86	1	0,86	0,5	0	-0,5	-0,86	-1	-0,86	-0,5	0
x	195°	210°	225°	240°	255°	270°	285°	300°	315°	330°	345°	360°
f(x)	0,5	0,86	1	0,86	0,5	0	-0,5	-0,86	-1	-0,86	-0,5	0

 

Ejemplo 2:

Periodo:cada 720° se repite

Elaboramos la tabla de valores

X	0°	30°	60°	90°	120°	150°	180°	210°	240°	270°	300°	330°	360°
f(x)	0	0,25	0,5	0,70	0,86	0,96	1	0,96	0,86	0,70	0,5	0,25	0

 

X	390°	420°	450°	480°	510°	540°	570°	600°	630°	660°	690°	720°
f(x)	-0,25	-0,5	-0,70	-0,86	-0,96	-1	-0,96	-0,86	-0,70	-0,5	-0,25	0

 

Desplazamiento de fase:  Indica cuanto se va a trasladar la gráfica hacia la izquierda o derecha. (Cuando dice positivo va hacia la izquierda y negativo hacia la derecha) ese desplazamiento esta dado por

Ejemplos

El desfase seria 

Se construye la tabla de valores para obtener los valores de y se coloca en la calculadora sin (“valor de x” + 90) porque  son 90°

X	0°	30°	60°	90°	120°	150°	180°	210°	240°	270°	300°	330°	360°
f(x)	1	0,86	0,5	0	-0,5	-0,86	-1	-0,86	-0,5	0	0,5	0,86	1

Ejemplo 2: 

X	0°	30°	60°	90°	120°	150°	180°	210°	240°	270°	300°	330°	360°
f(x)	0,86	0,5	0	-0,5	-0,86	-1	-0,86	-0,5	0	0,5	0,86	1	0,86

 

Ahora una función con todos los movimientos en el plano

Amplitud= 2

Periodo

Desfase

X	0°	30°	60°	90°	120°	150°	180°	210°	240°	270°	300°	330°	360°
f(x)	0,76	1,21	-1,98	0,76	1,21	-1,98	0,76	1,21	-1,98	0,76	1,21	1,98	0,76

 

Taller 4

1.       Establecer la amplitud, el periodo y el desfase de las siguientes funciones y     graficar en hojas milimetradas.

Amplitud, periodo y desfase

Amplitud-Indica cual será el valor máximo y mínimo de la gráfica. 

Periodo- Indica cada cuanto se repite la gráfica. Se puede determinar con la fórmula 2π/b.

Desfase:  Indica cuanto se va a trasladar la gráfica hacia la izquierda o derecha. (Cuando dice positivo va hacia la izquierda y negativo hacia la derecha)

Taller 5

1.       Establecer la amplitud, el periodo y el desfase de las siguientes funciones y graficar en hojas milimetradas.

fecha de entrega 10 de mayo

 

Coseno

En trigonometría, el coseno de un ángulo {\displaystyle \alpha \,}q de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente a dicho ángulo y la hipotenusa

Características de la función coseno:

§  Dominio:  Los Reales en el Eje x

§  Recorrido: [-1, 1] en el Eje y

§  Periodicidad: Es periódica, con período 2 pi  Se repite cada 360°

§  Continuidad: Es continua en su dominio, 

§  El valor de cos (0) =1

TALLER 4

Construir la función coseno en hojas milimetradas con las siguientes condiciones

1.       Tomar la hoja milimetrada tamaño oficio de forma horizontal

2.       Colocar el eje y en el borde izquierdo de la hoja (cada cuadro de 1 centímetro debe corresponde a 0,1) debe ir desde (-1 hasta 1)

3.        El eje x cada cuadrado de 1 centímetro será igual a 15° escrito de forma de radianes, si necesita debe unir varias hojas hacia el ancho hasta llegar a 2π.

4.       En la parte superior de la hoja se debe hacer la tabla de valores.

X	0	15°	30°		90°
cos(x)	1	0,96	0,86		0

 

Ejemplo

FECHA DE ENTREGA 27 DE ABRIL

 

Funciones trigonométricas

Seno

En trigonometría, el seno de un ángulo {\displaystyle \alpha \,}q de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo y la hipotenusa

Características de la función seno:

§  Dominio: Los números reales Eje x

§  Recorrido: [-1,1] Eje y

§  Periodicidad: Es periódica, con período 2pi. Se repite cada 360°

§  Continuidad: Es continua en su dominio, Los números reales.

§  Valor en cero = 1

TALLER 2

Construir la función seno en hojas milimetradas con las siguientes condiciones

1.       Tomar la hoja milimetrada tamaño oficio de forma horizontal

2.       Colocar el eje y en el borde izquierdo de la hoja (cada cuadro de 1 centímetro debe corresponde a 0,1) debe ir desde (-1 hasta 1)

3.        El eje x cada cuadrado de 1 centímetro será igual a 15° escrito de forma de radianes, si necesita debe unir varias hojas hacia el ancho hasta llegar a 360°

4.       En la parte superior de la hoja se debe hacer la tabla de valores.

X	0	15°	30°	45°	60°
Sen(x)	0	0,25	0,5	0,70	0,86

 

Ejemplo

 

ENTREGA DE GRÁFICA 20 DE ABRIL

TRIÁNGULOS ESPECIALES

 SEGUNDO PERIODO 

hacer la portada de segundo periodo 

Triángulos especiales

Los ángulos especiales o ángulos notables son (30°, 45° y 60°)

Triangulo especial 30°-60°-90° Aparece de la división de un triángulo equilátero por una bisectriz y se caracteriza por tener sus ángulos internos de medidas 30°-60°-90°, así como lo muestra la figura.

Los múltiplos de estos ángulos especiales tienen una relación directa con estos valores dependiendo de su ubicación en el circulo unitario.

Circulo unitario

El círculo unitario es un círculo de radio 1 con centro en el origen del sistema de coordenadas, esto es, el punto (0,0)

Cada número real de la recta numérica se asocia con las coordenadas de un punto en el círculo unitario llamado punto circular. Para eso, luego, localizamos el 0 en la recta numérica de manera que coincida con el punto (1, 0) en la unidad del círculo.

Como el radio del círculo unitario es 1, entonces la circunferencia del círculo es, entonces, el eje real positivo se enrolla en sentido contrario a las manecillas del reloj y el eje real negativo se enrolla en el sentido de las manecillas del reloj.  De manera, que cada número real de la recta real se asocia con un sólo punto circular del círculo unitario.

Aplicaciones del círculo unitario

Si nos limitamos a los triángulos rectángulos, las razones trigonométricas se aplicarían únicamente a los ángulos agudos. Sin embargo, con ayuda del círculo unitario, se extiende el cálculo de las razones trigonométricas a cualquier ángulo α.

Ángulos en los cuadrantes y el ángulo de referencia en el círculo unitario. Fuente: F. Zapata.

Signos de las funciones trigonométricas

Dependiendo del cuadrante en el que está el lado terminal del ángulo una o ambas coordenadas puede ser negativa. La siguiente tabla resume los signos algebraicos de las funciones trigonométricas de acuerdo con el cuadrante donde se encuentre el lado terminal del triángulo.

Cuadrante	senα	cosα	tanα	cscα	secα	cotα
Cuadrante I	+	+	+	+	+	+
Cuadrante II	+	-	-	+	-	-
Cuadrante III	-	-	+	-	-	+
Cuadrante IV	-	+	-	-	+	-

Taller 1

En los problemas 1 al 10 evalué las 6 funciones trigonométricas del ángulo theta, theta  está en posición normal y su lado terminal contiene el punto dado.

En los problemas 11 al 18 encuentra el cuadrante en el que se encuentra al lado terminal de theta, si  theta satisface las siguientes condiciones:

En los problemas 19 al 28 nos dan el valor de una de las funciones trigonométricas del ángulo theta. De este valor la información adicional, determine los valores de las 5 funciones trigonométricas restantes de theta.

FECHA DE ENTREGA 13 DE ABRIL EVALUACIÓN 8 DE ABRIL